pegas2

Решения задач для учащихся 10 – 11 классов - Второй тур.
Команда «Пегас», Муниципальный Центр Образования г.Зеленогорск.

1. Почему у Луны нет атмосферы? Объясните, почему Титан (спутник Сатурна) смог сохранить свою атмосферу, а Меркурий - нет?
Решение:
Атмосфера - это смесь газов. А молекулы газа обладают вполне определенной средней кинетической энергией, напрямую связанной с его (газа) температурой (учебник физики 10 класс). Чем выше температура - тем быстрее они двигаются. С другой стороны это движение происходит в поле сил тяготения, которое однозначно определяется массой и радиусом небесного тела. Если тепловые скорости молекул меньше второй космической скорости (скорости освобождения) для заданного тела, то атмосфера будет устойчивым образованием. Поскольку речь идет о средних (наиболее вероятных) скоростях, то почти всегда ряд молекул будут обладать и большими скоростями (распределение Максвелла), поэтому условие малости тепловой скорости по отношению к скорости освобождения должно быть достаточно жестким. Попробуем представить сказанное в виде формул:

Vt² = 3kT/m (1) и Vg² = 2GM/R (2)

Где Vt и Vg - тепловая и вторая космическая скорости молекулы массой m, М и R - масса и радиус планеты, Т - температура (°К), а k = 1.38х10^-23 Дж/К и G = 6.67х10^-27 м³/кг*с² - постоянная Больцмана и универсальная гравитационная постоянная соответственно…
Воспользовавшись справочными данными о массах и радиусах указанных космических тел мы смогли рассчитать для них вторые космические скорости (скорости убегания) по формуле (2): Луна – Vg~2.4 км/с (радиус -1737.5 км, масса - 7.35х10²² кг), Титан – Vg~2.6 км/с (радиус - 2575 км, масса - 1.35 х10²³ кг), Меркурий – Vg~4.4 км/с (радиус - 2440 км, масса - 3.3 х10²³ кг).
Но в данной задаче нам более интересна зависимость от температуры. Из формул (1) и (2) для устойчивой атмосферы (Vt<<Vg) легко получить выражение:

T << 2GMm/3kR (3)

Для атомарного водорода (m = 1 а.е.м. = 1.66х10^-27 кг) мы получаем соответственно: 226°К для Луны, 280°К для Титана и 723°К для Меркурия. В более привычных нам градусах Цельсия это будет –47°С, 7°С и 450°С. Для более тяжелых молекул температуры будут соответственно более высокими.
Из полученных значений критических температур почти очевидно, что Луна не может удержать свою атмосферу, ведь дневные температуры там значительно выше.
Чуть сложнее с Меркурием, который хоть и находится в непосредственной близости от Солнца, но нагревается менее полученной нами критической температуры (хотя в 1.5-2 раза это не "много меньше", как требует условие). Возможно, что свою роль в разрушение атмосферы Меркурия внес и солнечный ветер. Вероятно сначала энергетичные солнечные протоны повыбивали (ускорили) более тяжелые молекулы в атмосфере Меркурия, а потом и сами нагрелись до наблюдаемых 300-400 градусов и разлетелись, как наиболее подвижные…
С Титаном все ясно. Вряд ли, находясь почти в 10 раз дальше от Солнца чем Земля, он может нагреваться до температуры, даже отдаленно приближающейся к температуре плавления льда. Ведь плотность потока солнечной энергии падает как R² или в нашем случае почти на два порядка (в то время как самой лютой зимой мы имеем уменьшение тепла от летнего уровня лишь по закону косинуса зенитного расстояния)… Видимо, именно это обстоятельство и позволяет Титану обладать такой мощной атмосферой, которой могли бы позавидовать и отдельные большие планеты, такие, например, как Меркурий, Марс и даже Земля… (Кстати, температура на Титане всего лишь около 100К!).

2. Почему на поверхности Луны температура от дня к ночи меняется на сотни градусов, а на Земле - всего лишь на несколько градусов?
Решение.
Основная разница между днем и ночью заключается в том, что на дневной стороне происходит поглощение солнечной энергии (нагрев), а с ночной стороны - охлаждение или отдача тепла в космическое пространство в виде ИК излучения (с максимальной длиной волны определяемой по закону Вина: Lambda = Sigma x Т⁴ ).
Рассмотрим сначала Луну, у которой нет атмосферы и ничто не мешает уходу излучения с ночной (неосвещенной Солнцем) стороны. Из существующих моделей строения Луны [1] можно подчерпнуть еще два существенных момента. Во первых: поверхностный слой Луны представляет из себя мелкообломочный материал - реголит, толщина слоя которого в районах лунных морей колеблется от 4 до 8 метров, а в материковых областях достигает 4-12м. Это сильнопористый слой с очень низкой теплопроводностью (в 10 раз меньше, чем обычный воздух!). Поэтому слой реголита играет для Луны роль термостата. И поверхностные колебания температуры практически неощутимы уже на глубине в 1 метр. Во вторых - даже в самых недрах Луны (глубже 1000-1100 км) температура составляет "всего лишь" около 1500 градусов. Тепловой поток из недр Луны был непосредственно измерен в двух районах (Рима Хэдли и Тавр-Литров) и оказался 2.2х10^-6 Вт/см² и 1.6х10^-6 Вт/см² соответственно, что в 3-4 раза меньше теплового потока поверхности Земли.
Все эти три причины (отсутствие атмосферы, тепла изнутри и очень малая теплопроводность поверхностного слоя) в сочетании с большей длительностью дня и ночи на Луне (около двух земных недель) приводят к тому, что разница дневных и ночных температур на ее поверхности может достигать почти 300 градусов!
Другими словами, на нашем природном спутнике днем нагревается, а ночью остывает (и даже промерзает) лишь небольшой поверхностный слой. Об этом свидетельствуют и радиометрические измерения температуры в подсолнечных точках во время лунных затмений, когда эта температура падала от 370К до 190К всего лишь за час с небольшим, и затем так же быстро восстанавливалась [2, стр 533].
Добавление: Прямой анализ показал, что доля метеоритного вещества в реголите не превышает 1%. Следовательно - в основном это смесь мелких обломков лунных пород и породообразующих материалов. Иначе говоря, под действием резких дневных и ночных перепадов температур (и в меньшей степени микрометеоритной бомбардировки) происходит постоянное дробление лунных горных пород и пополнение реголитового слоя. Так что Луна обречена на вечные муки в жаре и холоде…

Что же касается Земли, то тут все наоборот - быстрое вращение, наличие атмосферы, хорошо задерживающей тепловое излучение (в основном молекулы Н₂О и СО₂), более глубокий прогрев днем, плюс наличие Мирового океана (удельная теплоемкость воды очень велика) приводят к тому, что суточные колебания температуры на Земле невелики, и в большинстве регионов значительно уступают сезонным.
Исключения можно встретить в основном вблизи экватора, где сезонные изменения не так существенны:
Наименьшие суточные колебания температур на Земле можно ожидать на небольших океанских островах в дождливую и пасмурную погоду.
А наибольшие - в районах экваториальных пустынь типа Сахары в ясную и сухую погоду в дни, когда Солнце там бывает в зените (песок выполняет роль лунного реголита - поверхность днем быстро раскаляется и ночью так же быстро выстывает).

3. Чему равна эффективная температура для каждой планеты Солнечной системы, то есть та температура, которая обусловлена поглощением солнечного излучения? От каких величин зависит эта температура? На сколько градусов поднимается температура за счет парникового эффекта для каждой планеты Солнечной системы? Для каких планет Солнечной системы очень существенен поток внутреннего тепла?
Решение:
По сравнению с Землей, другие планеты получают тепловую энергию от Солнца как: Qз/Qп ~ (aп/aз)², где а – их средние расстояния от Солнца.
С другой стороны, из закона сохранения энергии (тепловой баланс), они должны переизлучать в космос тепло по закону Вина: Qз/Qп ~ (Тз/Тп)⁴ , где Т – их эффективные абсолютные температуры в °К.
Таким образом можно считать, что эффективная температура зависит от расстояния планеты от Солнца и излучательной способности этой планеты.
В первом приближении, приняв aз = 1 а.е. и Тз = 288°К, (15°С) можно получить оценочные значения эффективных температур для любых других планет с известными aп (в а.е.) в предположении, что излучательные способности этих планет такие же, как у Земли: 288/Тп = aп^1/2, или напрямую Т_п°К ~ 288°К/a_п^1/2 (1) Таким образом мы получили интересующие нас значения для всех главных планет солнечной системы: (см. табл.1). Для более точного соответствия реальным условиям необходимо еще учесть поток внутреннего тепла из недр и прозрачность атмосферы планеты для ИК лучей. Последнее особенно важно, поскольку от Солнца планеты получают энергию с максимумом в видимой области спектра (0.4-0.5 мкм – желтый цвет), а переизлучают ее в космос в тепловом (ИК) диапазоне (примерно 8-15 мкм для температур 400-200°К - по закону Вина - см. зад. 2). И для условия теплового баланса важно знать отношение прозрачностей в видимом и ИК диапазонах. Так, если в атмосфере планеты есть молекулы, поглощающие ИК (водяной пар, углекислый газ и т.п.), то атмосфера будет нагреваться сама и возвращать часть тепла вниз к планете (выполнять роль своеобразного одеяла) - так называемый парниковый эффект. При этом, рано или поздно, тепловой баланс по приходу-уходу тепла все-равно установится, но на более высокой температуре у поверхности планеты.
Исходя из этих соображений мы взяли данные о реально наблюдаемых (измеренных) средних эффективных температурах планет из [3] и сравнили их с полученными нами по формуле (1) теоретическими значениями (относительно Земли):

Планета	Тэфф (расчетная) °К	Тэфф (наблюд.) °К	Тнабл - Трасч
Меркурий	463	440	-23
Венера	339	730	+391
Марс	233	218	-15
Юпитер	126	120	-6
Сатурн	93	88	-5
Уран	66	59	-7
Нептун	52	48	-4
Плутон	46	37	-9

Как видим, очень сильное уклонение наблюдается только для Венеры. И, кроме как мощным парниковым эффектом, такое повышение температуры над расчетной, вряд ли можно объяснить чем-то другим…
Из этой таблицы можно сделать еще два интересных вывода. Первый - видимо принятая нами за основу эффективная температура Земли (288К) оказалась слегка завышена (об этом свидетельствуют небольшие общие отрицательные уклонения - в среднем -9.7°). А это позволяет утверждать, что парниковый эффект на Земле тоже присутствует в заметной мере…
Второй вывод касается планет-гигантов, расположенных вдали от Солнца. Казалось бы, их большая масса неизбежно приводит к значительному разогреву недр, а удаленность от Солнца уменьшает поступление тепла извне. Но, как показывают данные таблицы, существенного влияния на повышение температуры их атмосфер эти потоки тепла изнутри не производят! Немного неожиданный результат, который можно объяснить тем, что в данном случае мы имеем дело не с близкими к поверхности, а с какими-то другими, более высокими и холодными "усредненными" слоями атмосфер…А также тем, что средняя плотность планет-гигантов мала, за счет чего они имеют значительные площади поверхностей излучения и удельные потоки тепла через единицу площади (Вт/м2) оказываются несущественными…
Итого, получаем:
1. Эффективная температура зависит от расстояния планеты от Солнца и излучательной способности этой планеты.
2. Парниковый эффект играет огромную роль на Венере и в значительной степени присутствует на Земле.
3. Указать точно, на сколько градусов парниковый эффект поднимает температуру "для каждой из планет" - не представляется возможным. Для этого потребуются слишком много дополнительных уточнений (значения альбедо и теплопроводности поверхности планеты, точный процентный химический состав атмосферы и т.п.) и очень сложные расчеты. К тому же, в разных участках поверхности планеты реальные температуры все-равно будут различными даже в одно и то же время.
4. Потоки внутреннего тепла для планет солнечной системы играют второстепенную роль в разогреве их атмосфер и наиболее существенны у планет-гигантов: Юпитера, Сатурна и Нептуна (Урана).

Литература :
1. "Физика Космоса" - М., «Советская энциклопедия» 1986
2. Курс общей астрофизики, Мартынов Д.Я., 3-е изд., М. «Наука» 1979
3. Материалы сети Интернет со страниц, указанных на сайте http://www.zgr.kts.ru/astron/sunsisi.htm.