Теорема Пифагора

Тема. Теорема Пифагора

Автор: Андреева Е.И.

Тип урока. Изучение нового материала

Цель урока. Учащиеся должны усвоить теорему Пифагора, научиться ее доказывать, научиться применять полученные знания в практике для решения задач.

Основные понятия. Прямоугольный треугольник, катет, гипотенуза, синус, косинус острого угла.

Использование новых информационных технологий: Использование интерактивной доски и интерактивных моделей курса серии «Открытая коллекция» «Математика: планиметрия, 7–9 классы» (Windows, Linux)

План урока

I. Этап актуализации знаний.

1. Какой треугольник называется прямоугольным?

2. Как называется сторона, лежащая против прямого угла?

3. Как называются стороны, прилегающие к прямому углу?

4. При каком условии два прямоугольных треугольника будут равны?

5. Дайте определение синуса острого угла прямоугольно треугольника.

6. Дайте определение косинуса угла прямоугольного треугольника

II. Изучение нового материала.

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Для доказательства данной теоремы рекомендуется использовать интерактивную доску и соответствующую модель.

Данная модель иллюстрирует геометрическое доказательство теоремы Пифагора.

С помощью мыши можно выбрать произвольный прямоугольный треугольник.

В режиме «Демонстрация» модель автоматически показывает геометрическое доказательство теоремы пифагора.

В режиме «Доказать самостоятельно» вы можете сделать необходимые для доказательства самостоятельные построения, меняя положения треугольников в квадрате.

Данную теорему можно доказать, используя понятия синуса и косинуса угла прямоугольного треугольника.

Доказывая теорему таким образом, рекомендуется вывести на интерактивную доску следующий рисунок:

III. Работа на интерактивной доске с интерактивной моделью.

Задание: по известным двум катетам прямоугольного треугольника определить его гипотенузу, а так же значения синусов и косинусов его острых углов.

Один ученик выполняет это задание на интерактивной доске (после чего учитель может сохранить данное выполнение), а остальные выполняют это задание в тетрадях.

Для проверки полученных значений учитель выводит на доску интерактивную модель

IV. Формирование умений и навыков. Рефлексия.

 Тестовые задания рекомендуется спроектировать на интерактивную доску, чтобы задание было видно всему классу. Опрос проводить фронтально, объясняя сложные вопросы.

Общий вид тестовых заданий виден на рисунке. В некоторых заданиях верными могут являться несколько дистракторов.

 1. Что можно сказать о величине α острого угла прямоугольного треугольника, если известно, что sin α > cos α? Какой из катетов треугольника больше, прилежащий к этому углу или противолежащий?

a. α > 45°, прилежащий

b. α < 45°, прилежащий

c. α > 45°, противолежащий

d. α < 45°, противолежащий

Верный ответ: 3

2. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на части 9 и 16 см. Найти катеты.

a. 16 и 20 см

b. 15 и 20 см

c. 18 и 24 см

Верный ответ: 2.

Домашнее задание

Теоретический материал урока.

1. Пусть треугольник имеет стороны a,b,c и выполнено равенство a2+b2=c2. Доказать, что угол, противолежащий стороне c, прямой.

Решение

Пусть треугольник ABC данный и AB=c,BC=b,AC=a. Построим прямоугольный треугольник A₁B₁C₁ с катетами A₁C₁ = a,B₁C₁ = b. По теореме Пифагора у него гипотенуза равна Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по третьему признаку (теорема 5.6). Из равенства треугольников следует, что угол треугольника ABC при вершине C прямой.

2. В треугольнике даны две стороны a=6,b=8 и противолежащий стороне a угол . Найти остальные два угла и третью сторону.

Решение

По теореме синусов .Отсюда . Пусть . Тогда . По теореме синусов . Если , то аналогично и . Задача имеет два решения. На рисунке приведены чертежи, соответствующие обоим случаям.

3. Даны три стороны треугольника a=2,b=3,c=4. Найти его углы.

Решение

Углы находятся по теореме косинусов: , откуда . Аналогично